Родился он в 1875 году на Киевщине, ныне Обуховский район, в священнической семье. После учебы в Киевской духовной академии работал учителем, собирал казацкие песни, впоследствии руководил хорами в Киеве и преподавал в Музыкально-драматической школе Николая Лысенко.
Мировое признание Кошиц получил как дирижер Украинской республиканской капеллы, созданной по поручению Симона Петлюры. Хор гастролировал в странах Европы, США, Латинской Америки и Канаде, став художественным послом молодой украинской государственности. Именно этот коллектив впервые исполнил "Щедрик" Николая Леонтовича, который впоследствии стал известным в мире как "Carol of the Bells".
В эмиграции Кошиц жил в Праге, Париже, США и Канаде. Есть предположение, что его обработка украинской колыбельной "Ой ходить сон край вікон" стала основой знаменитой арии Summertime Джорджа Гершвина.
Несмотря на мировые триумфы, композитор всю жизнь мечтал вернуться в Украину, но советская власть этого не позволила. Умер он в 1944 году в Виннипеге, где его похороны стали событием общенационального масштаба для диаспоры.
Сегодня имя Александра Кошица чтят как символ распространения украинской культуры в мире.
Сегодня имя Александра Кошица чтят как символ распространения украинской культуры в мире.
