Народився він 1875 року на Київщині, нині Обухівський район, у священничій родині. Після навчання у Київській духовній академії працював учителем, збирав козацькі пісні, згодом керував хорами у Києві й викладав у Музично-драматичній школі Миколи Лисенка.
Світове визнання Кошиць здобув як диригент Української республіканської капели, створеної за дорученням Симона Петлюри. Хор гастролював у країнах Європи, США, Латинської Америки та Канаді, ставши мистецьким послом молодої української державності. Саме цей колектив уперше виконав «Щедрик» Миколи Леонтовича, який згодом став відомим у світі як «Carol of the Bells».
В еміграції Кошиць жив у Празі, Парижі, США та Канаді. Є припущення, що його обробка української колискової «Ой ходить сон край вікон» стала основою знаменитої арії Summertime Джорджа Ґершвіна.
Попри світові тріумфи, композитор усе життя мріяв повернутися в Україну, але радянська влада цього не дозволила. Помер він 1944 року у Вінніпезі, де його похорон став подією загальнонаціонального масштабу для діаспори.
Сьогодні ім’я Олександра Кошиця вшановують як символа поширення української культури у світі.
